Let's discretely be quantum!

Come riformulare la Teoria Quantistica dei Campi e vivere felici.

(A cura di Leopoldo Poggiali, Università degli Studi di Pavia)

Il problema del continuo

Nel corso del XX secolo, la Fisica è stata rivoluzionata dalla comparsa di una nuova teoria: la Meccanica Quantistica (QM). Possiamo dire che questa teoria, nata per spiegare dei fenomeni di fisica atomica e delle particelle, detiene a oggi un record nel numero e nella varietà di verifiche sperimentali che altre teorie tuttora accettate e studiate non hanno. Un ambito in cui questa teoria ha segnato una delle svolte epocali della fisica è la Teoria Quantistica di Campo (QFT). La QFT parte dal concetto di campo classico, ovvero una grandezza fisica descritta da una funzione definita nello spazio-tempo, e fornisce una trattazione “quantistica” del concetto di campo. Tradizionalmente la QFT si è sviluppata fin dalla sua origine, e soprattutto negli anni sessanta, con l’introduzione di alcuni nuovi strumenti matematici di calcolo, su un impianto matematico continuo. Cosa si intende però con impianto matematico continuo? In questo contesto, ci si riferisce essenzialmente alla presenza di uno spazio-tempo e di uno spazio delle fasi continuo, sui quali “vivono” gli oggetti matematici che si usano.

Lo spazio delle fasi

Un sistema fisico può essere descritto da un opportuno insieme di variabili. Esse costituiscono le coordinate dello spazio delle fasi, i cui punti descrivono tutti e soli gli stati del sistema. Ogni punto è individuato da certi valori delle variabili. Un esempio tipico di spazio delle fasi è lo spazio p-q (momento-posizione), che si studia in Meccanica Analitica.

Sebbene questo naturale sviluppo della QM, nella forma della QFT, abbia portato a dei risultati sia sperimentali sia teorici di incredibile precisione e rilevanza, per esempio all’interno del Modello Standard, si pongono dei problemi di natura interpretativa riguardo a certe procedure matematiche strettamente necessarie e insostituibili per portare a termine i calcoli. Infatti, nel calcolo delle quantità fisiche di interesse (per esempio le sezioni d’urto delle particelle), è necessario risolvere alcuni integrali all’interno dello spazio delle fasi continuo. Questi integrali, a causa della stessa natura continua dello spazio, possono portare a delle disastrose divergenze; in altre parole, il valore predetto di alcune quantità fisiche si rivela essere infinito. E come fa la QFT a funzionare? Ecco che entra in gioco la rinormalizzazione: una riformulazione degli integrali che si stanno trattando in maniera da renderli privi di significato fisico per loro ma in grado di rendere le quantità fisiche osservabili finite tramite procedure di cambio di variabili. La rinormalizzazione, così come altre procedure affini, manca di una chiara interpretazione fisica. Ciò può far sorgere il dubbio che si tratti di un puro artificio matematico necessario a porre un rimedio alle mancanze della teoria. Questo problema era noto fin dalla sua introduzione, tanto che P. A. M. Dirac, uno dei fondatori di questa branca della Fisica, si interrogava proprio sulla legittimità o meno di queste procedure.

I dubbi di Dirac sulla rinormalizzazione

Dirac nel 1963 pubblica un famoso articolo (Dirac P.A.M., Scientific American 208, 45), nel quale scrive: "Most physicists are very satisfied with the situation. They say: 'Quantum electrodynamics (una delle formulazioni della QFT, N.d.A.) is a good theory and we do not have to worry about it any more.' I must say that I am very dissatisfied with the situation, because this so-called 'good theory' does involve neglecting infinities which appear in its equations, neglecting them in an arbitrary way. This is just not sensible mathematics. Sensible mathematics involves neglecting a quantity when it is small - not neglecting it just because it is infinitely great and you do not want it!"

Di fatto, l’origine di queste divergenze sta proprio nell’intrinseca struttura continua su cui si basa tutto l’approccio descritto finora. Nonostante questi problemi, non è possibile liquidare tout court l’approccio continuo alla QFT, in virtù dell’ampio spettro di risultati da essa ottenuti che sappiamo essere corretti entro un alto grado di approssimazione. Però possiamo, senza dubbio, concentrarci su altri approcci alla QFT. In particolare, la controparte di quello presentato finora è l’approccio discreto alla teoria di campo quantistico, che risulta intrinsecamente immune alle criticità legate al problema del continuo. Vediamo di cosa si tratta.

L’Informazione quantistica ci da’ una mano

Le versioni discrete della QFT nacquero inizialmente in ambienti vicini alla fisica della materia e furono usate per modellizzare i solidi studiati nei laboratori. Essenzialmente queste versioni, benché per la maggior parte continuino a essere formulate in uno spazio-tempo continuo, non prevedono di integrare sulla continuità di quest’ultimo. In questo modo le divergenze non si presentano del tutto, ma allo stesso tempo è possibile ottenere risultati utili ed interessanti. Questo approccio discreto ha due ulteriori punti di forza: innanzitutto i metodi di risoluzione numerica in queste formulazioni risultano estremamente più semplici; inoltre, questa diversa impostazione della descrizione dei fenomeni non implica nessun tipo di “imprecisione” o “semplificazione” maggiore di quanto non faccia il tradizionale approccio continuo di cui sopra. La potenzialità di questa impostazione però non si limita allo studio dei solidi: già Feynman nel lontano 1982 si interrogava sulla possibilità di utilizzare questo approccio discreto per ricostruire l’intera fisica dei sistemi quantistici. Una possibile risposta agli interrogativi di Feynman sembra farsi strada nello studio decennale dello strumento principe in questo campo: l’Automa Cellulare Quantistico (QCA). L’Automa Cellulare è un modello matematico usato per descrivere il comportamento di sistemi complessi discreti. Per immaginare un QCA basta pensare ad una distesa di celle, un reticolo o lattice, dove siano localizzati sistemi quantistici in ogni cella (si può pensare ad una sorta di griglia con le caselle distribuite in n dimensioni). Queste celle che compongono il reticolo sono di dimensione finita, cosicché in una porzione finita di questo reticolo siano presenti un numero finito di celle. I sistemi quantistici localizzati nelle celle sono descritti dal loro stato che cambia in funzione di se stesso e degli stati delle celle vicine. Il QCA è propriamente la regola che descrive l’aggiornamento delle celle di volta in volta. Un esempio di Automa Cellulare Classico è il noto Game of Life di Conway.

Game of Life

Game of Life è il nome del gioco ideato da John Conway nella seconda metà degli anni 60. Questo presenta una griglia 2D, in cui ogni casella può essere piena (viva) o vuota (morta), e un set di regole che descrive il comportamento di ogni casella “viva” in base alle otto che la circondano. Nonostante le regole siano basilari, si possono costruire sistemi arbitrariamente complessi: da cicli di moto perpetuo a veri e propri organismi capaci di riprodursi e colonie che scambiano informazioni. I più arditi hanno spinto le potenzialità all’estremo, creando vere e proprie strutture multicorpi che interagiscono e comunicano. Qui è possibile iniziare il gioco!

Lo studio del QCA ha dato diversi risultati già il secolo scorso, ma quello a cui siamo interessati ora sono i risultati ottenibili grazie al contributo della Teoria dell’Informazione Quantistica (QIT). La QIT ha offerto infatti, fin dalla sua recente nascita, diversi argomenti innovativi nei confronti dei fondamenti della Teoria Quantistica (QT).

La QIT

La QIT è il risultato della generalizzazione della Teoria dell'Informazione classica ai fenomeni quantistici. Per questo è una teoria fortemente basata sulla teoria della probabilità e sulla statistica. La QIT analizza l'informazione presente nei sistemi fisici come una forma di entropia e ne dà una misura in termini di qubit (la versione quantistica del bit classico). La teoria si divide in una parte più applicativa, che studia la teoria degli algoritmi e di come manipolare l’informazione, ed una più astratta che studia l'informazione ed il suo ruolo all'interno dei fondamenti della fisica.

Negli ultimi anni è stata data una nuova formulazione della QT basata proprio sulla QIT. In sostanza, invece che partire dagli spazi di Hilbert si parte da dei principi di tipo informazionale. Che cosa sono dei principi informazionali? Sono principi che garantiscono o negano la possibilità di effettuare certe manipolazioni dell’informazione contenuta nei sistemi.

Cos'è uno spazio di Hilbert?

Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale su cui sia definito un prodotto scalare (che permette di definire una metrica) in un modo tale da evidenziare come alcune proprietà degli spazi euclidei siano conservate in spazi di funzioni anche infinito-dimensionali. Il ruolo di questi spazi in Meccanica Quantistica è fondamentale a partire dal fatto che uno stato fisico è descritto da un elemento di questo spazio.

La potenza di questa ricostruzione sta nel fatto che è una formulazione rigorosa in un formalismo estremamente generale che solo in seguito viene collegato alla realtà fisica. All’interno di un framework di questo tipo i principi suddetti hanno tutti una chiara interpretazione in termini di condizioni epistemologiche alla teoria, ovvero condizioni riguardo ciò che si può e ciò che non si può conoscere tramite il metodo scientifico. Sostanzialmente abbiamo una teoria formale intrinsecamente quantistica che ha bisogno di uno strumento che la colleghi alla realtà fisica: questo strumento è il QCA. Per dirla tutta, in questo programma le leggi fisiche note ad oggi acquistano il ruolo di descrizioni efficaci di algoritmi di information processing e questi algoritmi vengono implementati dai QCA che studiamo. Tutto il contenuto fisico della teoria, come lo spazio-tempo, la massa delle particelle, ecc., emerge dalla dinamica di questi strumenti, che, in questa teoria, sono la descrizione autentica della dinamica dell’informazione alla scala fondamentale della natura. È importante a questo punto sottolineare il fatto che lo spazio-tempo diventi un concetto emergente: ci si ricorderà infatti che la maggior parte delle difficoltà incontrate nell’uso degli integrali per il calcolo delle quantità fisiche era dovuta esattamente alla continuità dello spazio-tempo e dello spazio delle fasi. Eliminando la continuità dello spazio-tempo eliminiamo i problemi legati ad essa. I risultati di questo programma di ricostruzione della Teoria di Campo Quantistica per ora riguardano la cosiddetta “teoria libera”, ovvero la descrizione della propagazione libera di eccitazioni del campo. Si è riusciti infatti a ottenere le fondamentali equazioni di questa teoria, le equazioni di Weyl, Dirac e Maxwell, partendo dalla dinamica degli automi. Il prossimo passo è studiare altri tipi di automi che permettano di ricostruire la “teoria interagente”, ovvero la teoria che descrive come le eccitazioni del campo interagiscano fra loro. Al termine di questa storia potremmo non solo dire di avere una teoria di campo quantistica con un chiaro significato fisico, ma anche di aver ottenuto una descrizione ancora più fondamentale. In caso di successo, sarebbe una prova piuttosto forte della validità della struttura teorica a stampo informazionale che si vuole proporre.

Per saperne di più - contatti utili

Naturalmente, il campo di ricerca descritto da questo articolo è intrinsecamente legato alla Meccanica Quantistica: non sarebbe sorprendente se uno studente della triennale che non abbia ancora incontrato tale materia sulla propria strada fosse rimasto un po’ spaesato. Proprio per descrivere in maniera riassuntiva lo stato dell’arte senza nessuna velleità di completezza della trattazione si è deciso di non addentrarsi nella descrizione dell’Automa Cellulare Quantistico, ovvero lo strumento che lega la Teoria dell’Informazione Quantistica alla Teoria Quantistica dei Campi. Per maggiori informazioni sull’argomento, è disponibile il sito del gruppo di ricerca pavese di cui faccio parte, (QuIT, Quantum Information Theory Group), dove si possono trovare i contatti delle persone che stanno lavorando su questi argomenti ed altri a loro affini.

“Let’s discretely be quantum!” di Leopoldo Poggiali, Associazione Italiana Studenti di Fisica, è distribuito con Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4.0 Internazionale.